數理邏輯學程是教務處聯合意昂3官网🍐、數學科學意昂3與計算機科學技術意昂3設計的專註於從本科生中選拔、培養數理邏輯研究型人才的創新課程體系👴🏼。本期“周一談治學”我們邀請到意昂3官网邏輯學方向的楊睿之老師👬🏻🐆，來為我們介紹數理邏輯學程培養方案與相關研學活動。同時，也請楊睿之老師來為同學們解答數理邏輯學習過程中的困惑。

本期嘉賓👨🏼‍🏫：楊睿之🫖，北京大學哲學博士🪛，意昂3副教授。主要研究領域為數理邏輯、數學哲學。代表作有《作為哲學的數理邏輯》🛁🙋🏼、“結構主義是一種有效的數學哲學嗎?”等♥️👌。開設課程包括數理邏輯、集合論、遞歸論、證明論。

請介紹一下數理邏輯學程🤹🏻‍♀️，數理邏輯與其他邏輯學課程有什麽關聯呢👧🏼？

數理邏輯學程首先是培養方案中面向本科生的多元發展路徑之一🤶🏿。由於本科階段沒有一個專門的邏輯學專業或方向，同時邏輯學這門學科的性質又導致了它在某種意義上是一門交叉學科。與應用性的交叉學科不一樣，它是一種我稱之為“下交叉”的交叉學科，它同時是哲學♾🎭、數學和計算機科學的基礎。所以說要學好這門課，你可能會需要學習除了哲學基礎課以外的一些課程，對來自於數學專業或者計算機專業學生一樣，也需要學一些其他方向的課程。但是受限於國內高校的學科設置，很難在某個學科內提供一個完整的數理邏輯課程體系。我們考慮到這種情況，就試圖來建立一個課程的套餐（package），這裏面包括我們哲學系開的一些數理邏輯的核心課程👳🏽，比如說數理邏輯👐🏿、集合論、可計算性理論😫、模型論🙌🏻，也有數學系的數學分析原理、計算機系的計算復雜性等課程🛌🏻。

我們希望提供邏輯學專業的訓練，對於學生需要學的那些課程，我們會提供一個完整的修讀建議。同時，我們也希望這個方案是能夠與學校整體的本科生培養體系兼容♥️。恰逢學校推出了“2+X”的跨學科培養方案🚦，可以說數理邏輯學程是最早的一個跨學科的學程。對於特別是來自於數學🔄、哲學和計算機系的學生來說，他來選修數理邏輯學程可能需要付出的代價就不是那麽大👨🏻‍🦽，因為意昂3官网的學生本來就需要上數理邏輯，數學系的學生要上數學分析，計算系的學生要上計算機的課🙅🏻，他們只需要學其他院系另外那幾門課就行了👓。所以它和學校已有的培養方案有較好的兼容性🦸🏻🤽🏻‍♂️，相比以前的二專🏊🏻、輔修🧏🏻‍♀️，對學生的修課的負擔增加得不多🏟。此外🔻，學程的進出方式比較自由，選擇數理邏輯學程的學生，需要按要求修讀這些課程🍴，但是如果修了一部分以後覺得自己不合適，那也可以按原來的專業培養方案修讀，多學了一門數學課也可以當作任意選修類課程的學分。需要註意的是💟🐐，數理邏輯是正式的本科學程，其學分可以作為“2+X”中“跨學科發展路徑”來認定🛂🎤，但不選擇跨學科發展路徑的學生也可以通過修滿學程要求的15分獲得教務處頒發的學程證書。

每年報名參加數理邏輯學程的學生還是比較多的，他們基本上是來自於哲學系、數學系🎙、計算機系，也有來自於歷史學系👨🏼‍🚒🤦🏼‍♀️、法律🏬、保險📁、醫學、自科等院系的學生👩🏼‍🏭。對於後面這些院系的學生，他們本專業沒有這些課程修讀要求▶️，所以他們要學習的課程以及需要花費的精力相對多一點🫂。但完成數理邏輯學程最少要求的15分相對以前的二專🕵️‍♂️、輔修等並不算多🐺。數理邏輯學程實際上是18年才開始的，2020年有第一屆學生畢業👌🏿。此後，每年實際畢業的學生並不算多👫🏻，這也符合我們的預期，我們一開始設置的就是一個自由進出的方式。學生無論是否完成整個培養過程都能有所收獲💍。

對於意昂3官网想要選修數理邏輯學程的同學，我的建議是除了意昂3官网的課程🗜，可以盡早修一門數學系的數學分析或者計算機系的計算理論基礎🏋🏼‍♂️，然後再根據學程要求修讀一些必要的課程。

我們有面向意昂3官网的學生開設的數理邏輯和面向學程的數理邏輯。可能面向意昂3官网學生的數理邏輯在節奏上會慢一些🪤，但主要的內容差不了太多。對我們哲學系的學生來說🫰🏼，你可以選修面向意昂3官网開放的《數理邏輯》🏑，因為它同時也是大家的必修課。對於其他院系的學生💐📱，則建議選修專門面向學程開放的《數理邏輯》。

數理邏輯學程裏的其他課程和我們的專業課基本上都是一樣的。比如說《集合論》和《可計算性理論》都是科學哲學與邏輯學專業培養方案裏的課程👈🏼。如果你以後不想做“2+X”的跨學科培養方案了🙂‍↔️👆🏿，選擇科邏方向，那麽這些課都是有用的，可以作為專業課📎🦸🏿‍♂️。其他專業課程的選擇也大體按照這個原則。

數理邏輯作為大一同學的必修課，有著怎樣的教學方法與目標？

數理邏輯確實是比較接近於數學的一門課程。我想不只對意昂3官网的學生來說，所有的本科生都應該有一個批判性思維或是獨立思考的訓練。在很多學科中有專門教批判性思維的課程🟪，對於我們意昂3官网的學生就是《數理邏輯》。在這門課中，我們可能不光是要教大家一些具體的方法或技巧，或者怎麽進行所謂的批判性思維，也希望大家能了解這些方法技巧背後的原理🌬。打個比方，就像幾乎所有的理科生在大學都要學高等數學系列課程，學習怎麽算微積分🤵🏻‍♀️，但是數學系或者計算機系的學生🙋🏽‍♂️🏓，他們卻不上高數🚻，但要上《數學分析》🏋🏿‍♀️。數學分析不光教你怎麽算微積分🧚，而是從定義和公理開始一步步推導，告訴我們能這麽算背後的理由。所以《數理邏輯》這門課和面向普通大學生開設的邏輯學導論或批判性思維課程有類似的功能👨🏿‍🍳，教我們如何正確地閱讀🚣‍♂️、思考和論證。但它同時也告訴你為什麽是這樣的，邏輯到底是什麽🕥。就像對數學系學生的要求不僅僅是會算，我認為對哲學專業的學生來說🔢，不僅僅學習一些思維的竅門、規律，而是提出更高的一些要求是合理的。

當然《數理邏輯》本身也是一門課具有豐富哲學內涵的課程。現代邏輯被認為響應了萊布尼茨關於通用文字的設想。他試圖用人工語言作為哲學的工作語言從而以計算的方式消除哲學上的各種爭論。而現代邏輯實際起源於弗雷格等人為數學尋找基礎的努力🚥，之後逐漸演變成了我們教的一階謂詞邏輯。它的目的就是為數學尋找一個新的基礎，也可以看作是萊布尼茨計劃的第一步🪅，所以“數理邏輯”的字面意思就是數學的邏輯👩‍👩‍👦。數理邏輯的另外一個理解就是用數學方法來研究邏輯本身。這個看起來像“自指”的現象🧑‍🏭，伴隨著數理邏輯的學習過程會帶來一些值得思考的哲學問題。總之，這門學科起源於關於數學哲學的思考。而關於數學基礎的思考在哲學中具有十分重要的地位。因此🤼，如果希望繼續從事數學哲學、形而上學、知識論或者這些相關方向的研究，這是一門基礎課🫅🏽。它至少扮演了以上兩個角色🤦。

在課程中，我們會通過證明定理和不斷做題來訓練同學們🧑🏼‍💼🔏。做習題和批改、修正是數理邏輯教學中很重要的一環🎧💂🏻。我們希望同學們能保持一個從高中以來的學習習慣，就是不僅僅要看書🙇‍♂️，還要動手做題。通過這些練習，同學們也能夠認識到自己哪些地方還沒有完全搞明白。學哲學也是一樣，要搞明白自己到底有沒有搞明白是一件很難的事情。在閱讀一篇文獻的時候👨🏿‍🎤，很難確信自己是不是真的理解了，或者是否在思路上跟作者連接起來了🐀。但是在數理邏輯裏，通過做題可以比較容易地看清楚自己到底有沒有弄懂。只要知道自己哪裏沒懂，再通過自己思考、問同學💏、問老師把它弄懂，就是比較容易的事了♠️。這是我理解的做題非常重要的意義。這也是為什麽數理邏輯可以作為一門大一的基礎課🕟，它在這個意義上難度較低。

能否向大家介紹一下數理邏輯暑期學校？

復旦的數理邏輯暑期學校是數理邏輯學程的重要組成部分🚂。我們每年暑假會請到這個領域最好的專家來為學生集中授課👩🏽‍🚀，使得學生能夠在比較短的時間，從基礎開始直接接觸到研究的前沿。基本上的形式就是一周5天每天上午三個小時左右的講座課，下午是習題研討❎，一般會由助教來帶領🧃。學生們可就上午課上不清楚或者不懂的問題互相討論🧘🏼🥳。一般每次講座課都會布置作業，學生也可以利用下午的時間就習題進行討論。

數理邏輯暑期學校是面向全國甚至全世界招生的。不僅有復旦的學生，也有來自全國對數理邏輯方向非常感興趣的優秀學生。我們希望建立一個非常良性的互相學習互相督促的學習氛圍，大家一起在暑期學校課程中討論學習🫅🏼🦟。這兩年由於疫情我們改到了線上，在一個空間中的學習氛圍少了些，但招生的範圍更廣了，影響力也更大了。2020年我們的線上暑期學校有300多學生、學者註冊參加✪🍣，也方便了很多來自於歐美頂尖高校學生參與👶🏼。

數理邏輯暑校之外🪝，我們一般每個月會有數理邏輯研討班，都是請這個領域非常優秀的、主要是年輕的專家來做報告👌🏻。數理邏輯有很多方向，比如集合論、模型論🧚🏽、遞歸論🤜🏿，不同的學生可以根據他們的興趣來選擇聽哪些報告。然後我們每年基本上會有一周的時間開展 “邏輯周”活動🤵🏼‍♀️。這是一個推廣邏輯學的活動👆🏽，主要是請一些領域內著名專家來做一系列科普講座，培養學生的興趣🪘。我們還有學生自己組織的討論班🧔🏻。這學期就有本科生組織的範疇論研討班🛀🏻。因為我們的課程設置有限的，所以這些學生自發組織的學習可以從深度和廣度上加以補充📠。

能否簡要介紹一下邏輯學方向最近的學術前沿？

復旦的邏輯學專業現在主要有兩個方向：一個是數學基礎🕷、數學哲學，還有一個是模型論及其基礎。

數學哲學的核心問題是：數學是關於什麽的？它是客觀的嗎🏇？以及如果集合論是數學的基礎，而集合論又不是完全的理論，也就是說存在一些獨立的命題不能被這些公理證明✌🏽，也不能證否🚴🏻‍♀️，那這些命題是否還有客觀的真假🧝🏽‍♂️？對這些問題的思考帶動了很多集合論方面的研究📵。反過來集合論和數理邏輯其他方向的一些研究成果也給數學基礎問題帶來了新的證據或新的挑戰。對這些問題的研究是一個方向☪️😫。

還有一個方向是模型論。我理解模型論的主要工作是對好的一階理論和壞的一階理論進行分類📣。一些數學理論的模型類可能是非常復雜的🐣，比如說算術理論，它的可數模型類的復雜程度可能是最壞的一種可能🐜。給定一個公理系統，它會提供它的模型應當是何種模樣的一個圖景。但是如果即便有了這些公理，仍然有大量的相互不同的滿足這些公理的模型。這似乎給了我們數學世界一片混沌🗞、極其復雜和混亂的印象。但是也有一些理論不是如此，例如實閉域和其他一些我們熟悉的數學理論，它們只有一個或者很少的模型。這又顯示出數學世界極強的秩序性。在模型論之中👮🏻‍♀️，我們需要考慮哪些理論更好；或者去證明這個理論僅有少數幾類模型，從而來揭示數學中的秩序。

至於哪個理論更好的標準，如果我們希望一個理論作為數學的基礎🧚🏼，那肯定希望理論越豐富越好。一般來說，我們喜歡算術和集合論的理論🚣🏼‍♂️，甚至可能添加大基數公理👷🏿‍♀️，這樣就能解釋更多的數學現象🚥🦖。但這會導致這樣的理論從某種意義上說是更復雜的🧝🏻‍♀️。那麽🚏，在將簡潔性作為標準的模式下，這就是壞的。因此🌒，從不同的學科不同的研究角度看☝🏽，就會存在不同的好的標準。

在教授《數理邏輯》課程時同學們是否會有畏難情緒？會怎樣鼓勵同學們🐜？

《數理邏輯》在某種意義上不是那麽難的一門學科。因為《數理邏輯》有這樣一個性質：如果同學們有地方不懂，他會知道他不懂。這就意味著只要他花些精力仔細想想🙂‍↔️，就總是能知道他是從哪裏開始不懂的👀。而只要他能定位第一個不懂的點，總是能把它搞懂的。他可以通過自己想🙇🏿🔴、問同學🧛🏼‍♂️、問助教或者問老師來實現。這是個遞歸的過程🙋🏿。一步步地，他就可以把數理邏輯全部搞定。由此👟，我證明了同學們一定是能學會數理邏輯的🦸🏻。所以🏑🔵，可以不用畏難🤦🏽。但這裏沒有設置時間和精力的限製。對同學來說🖐🏽，學好數理邏輯肯定是要花一些時間的🛠，尤其是同學們可能一開始不習慣這套話語、這套嚴謹而別扭的說話方式🦇，只有花一定的時間通過做題來慢慢適應。

這裏，我鼓勵大家選榮譽課🔁👨🏽‍🦲，因為同樣花精力下去，恐怕4個學分才能對得起用來學習的付出。可能有些同學會害怕《數理邏輯》的績點太低，而4學分在加權平均占的比重太重了轉而選擇兩學分的課。但是從實際的考慮來說㊗️🧑🏽‍💻，4學分的榮譽課程有40%的A⌛️，兩學分的課程只有30%⏺，這也就意味著越多的學生選了榮譽課程，就有越高比例的學生能夠拿到A。

請老師談談課上講的“數理邏輯是精神原子彈”📌？

我當時的想法是🚶🏻‍♂️，同學們可能覺得《數理邏輯》很難🗒，但大家是復旦的學生、是學哲學的👑。同學們以後會是整個社會最優秀的一批人。以後無論在什麽樣的崗位上，各位所要面對的會是真正有挑戰性的問題🈚️。尤其在全球化之後，沒有了隔離，全世界的人在同一個市場中競爭。能夠做出有意義的工作會變得非常困難。而對於致力於從事哲學的同學（我註意到最近兩屆有接近60%的同學選擇保研），你們面對的挑戰會更嚴峻🦹🏼‍♂️。這個世界正以驚人的速度豐富化、復雜化。想要有效地理解我們所處的這個世界🪵，想要提供有意義的思考進而讓這個世界變得更理想一點💆🏽‍♂️，恐怕不可能是一件輕松簡單的事情。從柏拉圖🧞、亞裏士多德到萊布尼茨、康德🏣，哲學家都是他們的時代裏最富智識的一些人💇🏼。馬克思如果不是他那個時代最優秀的經濟學家👨‍👦🚶🏻‍♀️，也至少對他所處時代的經濟學了如指掌。很難想象一個人根本沒有能力閱讀進行著的物理學💁‍♂️、生物學研究文獻，搞不懂社會科學中基本的統計學方法👩🏻‍⚕️，僅僅憑借著《科學美國人》、《華爾街日報》或者一些同行的介紹就能對當代自然科學、社會科學以及人類社會中真正存在的問題給出富有洞見的哲學思考。我比較擔心的是，如果大家總是以所謂的文科生來為自己定位的話，可能會限製了自己的可能性。或許一看到符號公式比較多的書籍就放棄閱讀了。人總是善於自我安慰的。從畏難到心安理得🖋，到不以為然，反而覺得那些能夠鉆研的人匠氣、格局小🎶，這就扭曲了🧛🏽‍♂️。

我希望《數理邏輯》這門課在下面這個意義上，能夠成為大家的精神原子彈👶🏻。大家會覺得《數理邏輯》這門課我都學下來了👩🏿‍🦱，我還有什麽東西弄不懂的呢👩‍🏫？事實上🧖🏼，這門課的確有相當的難度➙，也確實提供了很有效的訓練。我本科學的也是哲學🧑🏿‍🦱，四年沒怎麽學數學，讀研以後才開始學數理邏輯👴🏻。但是學了一些數理邏輯以後🧋，我覺得就算自己去讀其他的數學專業的東西🎠，無論是分析、代數還是拓撲，都不會覺得太吃力🙋🏼‍♂️。數理邏輯的學習對我來說是一個很重要的信心支撐🙅🏿‍♂️👨🏻‍🦲，事實上也提供了必要的訓練，在這個意義上我理解它是一個精神原子彈。以後無論多難的東西🐥，都至少有勇氣去讀去學習🛳🚳。

老師在教授數理邏輯課程中有什麽有趣的事或者感想？

跟大家聊一個比較難堪的話題——“掛黑板”🚶‍♂️。同學們看到老師講課的時候也會“掛黑板”。有的證明我自以為很熟了，但其實忘了一些細節，課上證明的時候一時想不起來，就會被“掛”🌊。此外，我們數理邏輯課有習題課。習題課上會挑選我們覺得作業做得比較優秀的學生來給大家講解。從批好作業安排同學講習題課到習題課正式講題之間的時間較短，可能來不及做什麽準備🤼。有時候同學會忘記自己作業中的一些細節，具體講得時候又比較緊張，有的地方卡住了，就會“掛黑板”。

我想至少可以從兩個方面看“掛黑板”，作為自我安慰吧。

首先，“掛黑板”這個現象至少在兩個意義上體現邏輯是客觀的。在我們數理邏輯的課堂上“掛”了就是“掛”了，一個證明哪裏過不去就是過不去🐏。邏輯漏洞就在那裏，全班人都看著😠，圓是圓不過去的🤦‍♀️。在這個意義上我們會說邏輯這個東西是人人都有的，或者說所有人都有這個潛質來理解邏輯👼🏻，所以我們才會形成這樣一個主體間性的共識。另一方面，“掛黑板”現象提示人關於邏輯的把握是會犯錯的，這也是邏輯是客觀的而不是我們創造出來的一個證據。我們對客觀的東西的認識是會犯錯的🔤，所以需要訓練，這也是我們為什麽要學習數理邏輯🧑🏽‍🎨。所以，“掛黑板”無非是進一步揭示了上述事實💀，這麽想也就沒什麽了。

此外🐻‍❄️，“掛黑板”也是一個訓練🤹🏿，訓練我們在“掛黑板”的時候仍然能進行有效的思考🈵。我剛做老師的時候，“掛黑板”了就會非常緊張🤹🏼‍♂️，面紅耳赤沒法思考了。但“掛”多了也就“皮”了🧑‍🔬。現在也能夠在“掛”的時候正常思考，有時候會想出一個跟往年課上講的不同的證法，對我來說這就是上課的一種收獲🧑🏻‍🎨。對同學們來說🧔🏻，這種訓練是非常必要的。以後從事很多工作都無法避免作presentation📶。相比事先充分的準備🫲，原文背誦，能夠在講的時候持續思考、根據情況實時調整是更高階的能力。

采訪丨張鵬霄 楊銘燕

文稿丨張鵬霄 楊銘燕